Aplicas funciones racionales

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.¹
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar
  una mayor variedad de comportamientos.

Para el cálculo del dominio de las funciones con la x en el denominador o racionales, hay que tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser nulo.
Luego los valores de x que hagan cero el denominador de la función no pueden pertenecer al dominio de la misma. 

Así en el  inicio de la escena está representada la función donde el denominador es cero para   x = -3. Por tanto el dominio  de esta función es 
D = R - {-3}. Esto es, todos los números reales quitando el -3

Prueba a introducir en la escena el valor de x=-3 y observa lo que ocurre.

Si el denominador de la fracción es de segundo grado, puede haber hasta dos puntos que anulen el denominador. En dichos puntos no existirá la función, y el dominio serán todos los números reales quitando los valores de x que hacen cero el denominador.

Por tanto lo primero que hay que hacer para hallar el dominio es igualar a cero el denominador y resolver la ecuación resultante.

Asintoas verticales.-
Cuando una función no está definida en un punto b, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, estamos ante una situación en la que aparece una asíntota vertical, que es la recta x=b. Se dice que en dicho punto, la función "tiende a infinito".


Asíntotas horizontales.-
Si estudiamos lo que ocurre con las imágenes cuando los valores de la variable independiente se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que éstas se vayan acercando a un valor determinado, y=c, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=ces una asíntota horizontal, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".
En el ejemplo anterior, la función y=5/(x-2) también tenía éste comportamiento, con y=0 (el eje OX) como asíntota horizontal.
Veamos una función parecida: y=5/(x+2) + 3.

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas.

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento xperteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

.

Por ejemplo, dada la función:

Planteando y resolviendo la ecuación:

Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Buscando raíces.

• Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función.
• El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas.
• Una función trascendente como por ejemplo  posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier  es raíz de esa función. En cambio la función  no se anula nunca sobre los números complejos.
• El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación.
• Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

Teorema del factor y del residuo.

Teorema del factor:

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.

Teorema del residuo:

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).

Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:

f(x) = (x-2)(x+3) + 4

Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).

El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:

f(x) = (x-1)(x+2)

Como se muestra, (x-1) es un factor.

DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces¹ como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo  de grado , la ecuación  tiene exactamente  soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

• El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
• Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma .

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).2

Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

TEOREMA DE FACTORIZACIÓN LINEAL.

Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n

factoreslineales, es decir:

f(x) = a(x – c

1)(x – c

2)….(x – c

n),

en donde c

1, c

2,…..cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x)

Utilizas funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

El comportamiento de la gráfica de las funciones polinomiales, como lo has estado
advirtiendo hasta el momento depende directamente de su grado y coeficiente
principal.
Las funciones polinomiales de grado 3 y 4, a diferencia de las funciones anteriores,
requieren de un método específico para la obtención de sus raíces cuando no son
factorizables.


Características de una función polinomial de grado 3 y 4
Al igual que las funciones polinomiales de grado 0, 1 y 2, esta clase de funciones posee
también su grado, coeficiente principal, término independiente,su dominio y rango, la
siguiente tabla muestra un ejemplo de una función de grado 3 y una de grado 4 con
sus respectivos parámetros, una vez que hayas advertido su particularidad, completa
el cuadro para la segunda función adjunta.


Funciones de grado 4
Para advertirla influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones polinomiales
de grado cuatro, es necesario, al igual como lo hiciste con las funciones polinomiales
de grado 3, hacer pruebas modificando los parámetros de algunas funciones.

La gráfica de las funciones de grado cuatro se eleva sobre la izquierda y la derecha, es
decir, crecen en ambos lados, a excepción de aquella cuyo coeficiente principal es
negativo, decrece en ambos lados.


Raíces(ceros)reales de funciones polinomiales de grado 3 y 4
Las raíces reales de una función se obtienen cuando la función se hace 0, es decir
f(x) = 0, en algunos casos son fáciles de apreciar en el plano cartesiano.

Las raíces se logran apreciar en cada cruce que tiene la gráfica con el eje de las “x”, y
como has notado, el número de raíces de cada función corresponde al grado de la
misma.

Características de la raíz de una función: Considera a la constante “a” como el cero o
raíz de una función,siendo a > 0 y elemento del conjunto de los números reales.

Según las propiedades de la raíz se cumple lo siguiente:
1) x = a es un cero o raíz de la función f(x)
2) x = a es una solución de la ecuación polinomial f(x) = 0
3) (x – a) es un factor de la función polinomialf(x)
4) (a, 0) es una intersección en el eje de las “x” de la gráfica de f(x)
La obtención de dichas raíces te ayuda a identificarla con facilidad y además, a trazar
un bosquejo de la gráfica de la función polinomial demaneramás práctica y rápida.


Las ecuaciones que no pueden ser factorizables indican que no todas las funciones
polinomiales tienen raíces reales, existen varios métodos que pueden mostrarte el tipo
de raíces que posee tu función polinomial.
Uno de ellos es la llamada prueba del cero racional, la cual relaciona todas las raíces
racionales posibles de un polinomio involucrando el coeficiente principal y el término
independiente.